Arquitectura Modular Basada en La Teoría de los Policubos...

La teoría de policubos es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de unidades modulares cúbicas, tal que unidas por sus caras configuran formas en el espacio tridimensional. Si bien el módulo básico es un cubo, la combinación de varios cubos permite obtener una gran variedad de módulos
que conservan ortogonalidad entre sus caras y, dentro de la sencillez de sus formas, aportan riqueza volumétrica y modularidad, estableciendo correspondencias con formas de uso arquitectónico.

Con el propósito de mencionar algunos antecedentes sobre el tema, diremos que las formas modulares compuestas por cuadrados y cubos se denominan respectivamente poliominos, inventados por Salomón Golomb, y policubos, cuyo antecedente más temprano
es el Cubo Soma, inventado por Piet Hein. A fines de los años cincuenta Golomb [1] propuso el nombre poliominos (combinación de múltiples módulos cuadrados) a partir de la palabra domin (popular juego de piezas constituídas por dos módulos cuadrados), mientras que el Cubo Soma de Hein consistía en 27 módulos cúbicos combinados, tal que acomodados de una manera particular, forman un cubo de 3x3x3 módulos. El Cubo Soma es un caso particular de policubo que en rigor no es un conjunto completo.

Esto significa que, al estar compuesto por siete piezas: seis de los ocho tetracubos que existen y uno de los dos tricubos, no es una familia de formas que se ajuste a una definición matemática rigurosa, puesto que cuenta con elementos de diferentes familias. Abundante información sobre matemáticas recreativas puede ser
consultada en Internet [2].

Uno de los desafíos en el área de las matemáticas recreacionales consiste en armar el Cubo Soma a partir de sus piezas sueltas, pero también es posible armar cientos de otras analogías con formas de la vida real. En este trabajo se muestra la posibilidad de Morfología y Matemáticas 265 crear formas sintéticas que correspondan a situaciones arquitectónicas, en variadas escalas: equipamiento mobiliario, habitaciones, grupos de habitaciones, departamentos, grupos de departamentos, edificios, grupos de edificios hasta llegar a un sistema urbano.

Una de las manera más frecuentes de encarar el proceso proyectual, tanto en la enseñanza-aprendizaje como en la actividad profesional, consiste en establecer reducciones conceptuales que permiten operar con mayor claridad y rapidez. El trabajo modular tridimensional tiene en los cubos y policubos su expresión de mayor
simplicidad fundamentalmente por dos razones:

(1) la direccionalidad de sus aristas corresponde al sistema de coordenadas de mayor difusión (cartesiano ortogonal)

(2) es el cuerpo sólido que más sencillamente rellena modularmente el espacio tridimensional, sin dejar huecos y sin superponerse.

Clasificación

Así como al considerar poliominos bidimensionales es posible clasificarlos en dos grupos: “libres” y “contenidos”, donde estos últimos hacen referencia a la existencia de un contenedor modular de forma rectangular cuyos lados limitan la expansión de módulos (matriz p x q) , al considerar policubos tridimensionales
es válida la misma clasificación, siendo el contenedor un prisma modular (matriz p x q x r)

Tanto los policubos "libres" como los policubos "contenidos" están sujetos a subdivisiones modulares cúbicas, cuya mínima expresión es un cubo unitario, y cuyas expresiones intermedias son grupos de cubos unitarios conectados, de manera tal que un conjunto de las piezas así formadas tengan la propiedad de macizar el contenedor (ejemplo Cubo Soma).

Las distintas maneras de clasificar policubos son, a saber:

(1) como k conjuntos de cubos conectados por sus caras, cada conjunto compuesto por n módulos cúbicos, 1 £ n £ ¥. Esta modalidad, por simple sumatoria de módulos unitarios cúbicos, corresponde a los llamados policubos “libres”. Ejemplos:

(2) Como conjunto de unidades compuestas que rellenan un prisma modular (caso del Cubo Soma). Sus habitáculos modulares macizan una matriz de p x q x r = n cubos, con u unidades compuestas, siendo siempre u < n. Corresponde a los policubos "contenidos".

(3) Como conjunto combinado de unidades aisladas y unidades compuestas, que pueden rellenar un prisma modular dejando aparecer intersticios. Corresponde a un policubo "libre" en el sentido que admite huecos, aunque su expansión está limitada por el prisma modular, y en ese sentido se trata de un policubo "contenido".

(4) Como conjunto combinado de unidades aisladas y unidades compuestas, macizando la matriz de (p x q x r) cubos. Correponde a un policubo "contenido".

Objetivos

El primer objetivo de este trabajo consiste en analizar cómo pueden ser utilizados los policubos como disparadores creativos en la realización de diseños arquitectónicos. A partir de la clasificación en "libres" y "contenidos" y de sus posibilidades de generación mediante procedimientos aditivos o sustractivos, vemos la
posibilidad de obtener formas modulares complejas, que alcanzan características escultóricas, pero sin embargo no pierden el orden ni la modularidad.

Con respecto al segundo objetivo que propone ampliar las posibilidades del diseño asistido por computadoras explorando agrupamientos modulares complejos, es suficiente con explorar algunas transformaciones geométricas que mencionaremos a
continuación, para que se abra un universo de posibilidades creativas, conservando algunas propiedades esenciales de la configuración tomada como base. Dado un policubo de cierta complejidad siempre es posible reconocer en él tres elementos
que lo configuran (Alonso y Cerf , 1996) [3]:

(1) unidades cúbicas individuales (cubo unitario)
(2) agrupamientos de unidades cúbicas colocadas en una línea (barra)
(3) agrupamientos de unidades cúbicas colocadas en un plano (rebanada)

Teniendo en cuenta estos elementos constitutivos de un policubo, veamos algunas transformaciones:

(a) por proyección de unidades cúbicas individuales en X, Y o Z: dada una configuración aleatoria producida mediante un algoritmo de randomización de posiciones en el espacio, de unidades cúbicas aisladas, la proyección Z consiste en dejar "caer" sobre un plano fijo ortogonal al movimiento, todas las unidades cúbicas que tengan espacios vacíos debajo de ellas, como se muestra en la figura.

Las proyecciones X e Y se definen de manera similar. Como es fácil ver estas transformaciones no producen cambios cuantitativos al volumen, ni incrementan el área exterior. Es obvio que el máximo número de contactos horizontales se produce al aplicar movimiento en Z. Por otra parte, el número de contactos verticales entre dos
columnas adyacentes, también es máximo después de aplicar movimiento en Z.

(b) por movimiento de unidades cúbicas: esta transformación mueve individualmente cubos del policubo, a partir de una configuración maciza y contínua. Se trata de operaciones de traslación de unidades cúbicas condicionadas por cuáles son las
localizaciones disponibles. A diferencia de la transformación (a), cada movimiento admite traslaciones en las tres direcciones X,Y,Z simultáneamente.

(c) por movimiento de barras: esta transformación mueve barras completas del policubo a partir de una configuración maciza y contínua. Igual que en el caso (b), cada movimiento admite traslaciones en las direcciones X,Y,Z simultáneamente, a condición que la barra sea extraída del extremo de una “rebanada” del poliomino. Este
movimiento no altera el volumen ni incrementa el área.

(d) remodelado por recorte en rebanadas planas: dada una configuración aleatoria maciza y contínua como la de la figura, correspondiente a un poliomino “contenido” cuyos vacíos también son contínuos (un solo conjunto de módulos vacíos contínuos en
ese contenedor), se corta en rebanadas en correspondencia con una dirección (son consideradas como poliominos bidimensionales, simplemente transformando las unidades cúbicas en cuadrados unitarios). Estas rebanadas se reacomodan en otra dirección conformando una nueva configuración. El remodelado por recorte no produce cambios cuantitativos al volumen ni incrementa el área. El número de contactos horizontales
entre dos rebanadas es máximo (igual al número de cubos de la rebanada más chica) si las dos rebanadas están asociadas a poliominos bidimensionales.

Con respecto al tercer objetivo, la propuesta es desarrollar un procedimiento de enseñanza-aprendizaje utilizando policubos aprovechando medios digitales, el mismo se lleva a cabo mediante la combinación de sistemas gráficos standard (principalmente
AutoCAD y 3DStudio Max) y el entorno de trabajo en Internet (programas orientados al diseño de páginas Web y visualizadores del tipo VRML). Diversas universidades en el mundo están aplicando con éxito estas técnicas [4]. En nuestra propuesta, la secuencia de trabajo puede adoptar diferentes procedimientos: (a) inductivosintético
(b) deductivo-analítico (c) combinación de los dos primeros. En cualquier caso se comienza con la creación de una unidad espacial cuyo nivel de abstracción y observación depende tanto de la escala requerida como del procedimiento elegido. Si
se trabaja de manera inductiva, se comienza con una unidad espacial con suficiente detalle (por ejemplo un local habitación, o un módulo de equipamiento) para luego ir generalizando el análisis hasta abarcar todo el conjunto del proyecto, y sintetizar su planteo. Si se trabaja de manera deductiva, se comienza con el conjunto
global (por ejemplo los grandes edificios o grupos de edificios adaptados modularmente a una trama ortogonal rectora), para luego ir particularizando el análisis, mediante una subdivisión modular, hasta alcanzar el grado de detalle. En realidad, lo más usual es trabajar combinando ambas modalidades.

Intención de diseño y ejemplos

Estos procedimientos también están relacionados con la intención del diseñador de establecer una reducción sistémica para enfrentar el proceso proyectual y arribar a la conformación geométrica del objeto proyectado. Tal proceso puede ser abordado de las siguientes maneras:

(a) desde la forma al propósito, cuando descripto el propósito o cometido del objeto se lo confronta con un inventario o catálogo de formas previamente generadas, buscando cuál de ellas se adecua al propósito a cumplimentar.

(b) desde el propósito a la forma, cuando se esbozan soluciones geométricas produciendo progresivas aproximaciones a la solución óptima concebida idealmente. Es un proceso de cotejo de diferentes descripciones de una misma definición, de un mismo modelo conceptual.

(c) desde la estructuración sistémica de la forma y del propósito, reconociendo que existen principios ordenadores que organizan la composición proyectada, verificando qué formas y espacios satisfacen el propósito requerido por las actividades. Desde el punto de vista de la forma, es válida cualquier composición que resulte de adoptar un patrón y someterlo a alguna operatoria de simetría en el plano o en el espacio (incluyendo traslación, rotación, espejo, cambio de escala y todas sus combinaciones). Recordemos que por patrón entendemos la repetición de un “motivo
de diseño”, de manera regular, sujeto a ciertas restricciones que establecen las reglas para su generación. En el caso de los policubos es un arreglo u organización de cubos conectados por sus caras. Las piezas de un Cubo Soma constituyen patrones de
repetición, que pueden ser usados libremente para componer formas y asignarles un propósito.

Desde el punto de vista del propósito, existen principios de organización de las partes que albergan actividades, que responden a condicionantes y requerimientos arquitectónicos, cuya sintaxis depende del propósito mismo. Si adoptamos como punto
de partida un vocabulario básico e intemporal tanto de organizaciones (central, lineal, radial, agrupada, en trama) como de principios ordenadores (ejes, simetría, jerarquía, ritmo, pauta, transformación) es posible asociar la oferta de formas con los requerimientos del propósito. Para ello es indispensable analizar las condicionantes funcionales y espaciales para adecuarlas al tipo de organización y sus características.

Vamos a dar un ejemplo metodológico utilizando las piezas del Cubo Soma, para proyectar edificios de vivienda. El procedimiento comienza fijando correspondencias funcionales entre una actividad y un módulo cúbico unitario, por ejemplo considerando que un cubo unitario corresponde a un dormitorio, cuyas dimensiones
deben se múltiplo del análisis deductivo y submúltiplo del análisis inductivo.

Como las piezas del Cubo Soma están formadas por varios cubos unitarios (tres o cuatro), a cada pieza le corresponde un agrupamiento de locales, es decir, un sector de la vivienda. Agrupar piezas del Cubo Soma corresponde a agrupar sectores de
vivienda, y el agrupamiento de sectores corresponde a obtener un departamento o grupo de departamentos, por ejemplo de un edificio en altura.

Las configuraciones espaciales así obtenidas deben ser sometidas a verificaciones funcionales (espacios apropiados para las actividades propuestas), ambientales (superficies adecuadamente expuestas al aire, luz y asoleamiento) y morfológicas (ordenamiento de los distintos componentes que aseguren su factibilidad estructural y constructiva).

Conclusiones

La aplicación de conceptos de modularidad sin pérdida de creatividad parece ser una constante en la intención de diseñadores actuales, alentados por la consecuente economía de tiempo y material en procesos constructivos. Aprovechando la sencillez
geométrica y topológica de modelos simplificados, se facilita el desarrollo de criterios para el agrupamiento de unidades funcionales a diferentes escalas, permitiendo abordar el estudio de estructuras espaciales de aplicación específica. De manera recurrente el modelo simplificado se convierte en un sistema complejo al considerar variados grados de abstracción, llegando a producir modelos de gran riqueza y complejidad formal al combinar unidades prediseñadas.

Referencias

[1] Golomb, Salomón (1958), “Polyominoes”, London, George Allen & Unwin Ltd
[2] Thorleif, G. (2001), “What is SOMA?”, http://www.fambundgaard. dk/SOMA/SOMA.htm
[3] Alonso L. y Cerf, R. (1996), “The three dimensional polyominoes of minimal area”, Universite Paris Sud, France.
[4] Madrazo, L. y Duran, F. (2002), “Networking: multiple space representations in a web based learning environment”, Universitat Ramon Lluli, Barcelona, Spain.

Roberto H.Serrentino, arquitecto
Hernán Molina, arquitecto

Laboratorio de Sistemas de Diseño Facultad de Arquitectura y Urbanismo Universidad Nacional de Tucumán

Kazuhiro Kojima

El arquitecto japonés Kazuhiro Kojima, asociado a Kazuko Akamatsu en el despacho C + A, trabaja con estrategias poco habituales como motor de sus proyectos. Kojima no utiliza la forma como punto de partida, sino que sus edificios son el resultado de situar en el centro del discurso el espacio en sí mismo y conceptos vinculados a la fluidez y la inestabilidad de los fenómenos que conforman un edificio. Fluidez e inestabilidad de la vida y del propio espacio son conceptos arraigados en la cultura tradicional japonesa que Kojima reinterpreta y manipula de forma contemporánea. El exterior de sus edificios, por lo tanto, es la expresión secundaria de aquello que ha originado el interior.

En el texto 'Dirección fluida', incluido en este número de 2G, Kojima nos explica los parámetros que configuran estrategias proyectuales tales como el viento, la luz, el sonido, el agua, el movimiento de los usuarios y la propia flexibilidad en los programas de necesidades, que vincula a las condiciones físicas del entorno para finalmente materializar en espacios interiores de gran riqueza y complejidad.

Los proyectos que se muestran en este volumen de la revista 2G pretenden ilustrar estas estrategias utilizadas por Kojima, así como su interrelación y su evolución a lo largo del tiempo. Son especialmente destacables tanto sus proyectos de vivienda plurifamiliar, en los que desarrolla el sistema Space Block de volúmenes apilados para generar apartamentos con cualidades espaciales interesantes, y sus proyectos para escuelas, en los que el usuario se transforma en el motor de unos espacios voluntariamente ambiguos y abiertos a la interacción.

la editorial

Hagamos una reflexión...

"...materia es el término para referirse a los constituyentes de la realidad material objetiva. Se considera que es lo que forma la parte sensible de los objetos perceptibles o detectables por medios físicos"

No se vosotros, pero yo entiendo como medios físicos TODOS LOS SENTIDOS; y no solo la vista... por tanto, creo que aún nos queda mucho por aprender... y tenemos que reflexionar sobre el tema.

FDT

paisea. revista de paisajismo

La revista Paisea, es un proyecto editorial formado por profesionales de distintas disciplinas que comparten las mismas inquietudes y sensibilidades, con el fín de mostrar las diferentes formas de aproximarse al paisaje, pero con una visión crítica e inteligente de la realidad. A lo largo de numerosos proyectos e intervenciones trata de suscitar el debate y la reflexión acerca de los actuales procesos de crecimiento y desarrollo que están transformando profundamente nuestro territorio...

Miguel Ángel Pérez Mesa
http://www.con-forma.blogspot.com/

http://www.paisea.com/

Manual de Vivienda Colectiva...

A partir del curso sobre Vivienda Colectiva de la Escuela Tecnica Superior de Arquitectura de Madrid (ETSAM) en 2006, surge una revisión general de algunas cuestiones esenciales que afectan al diálogo y la pedagogía de la vivienda. Basado en una serie de Talleres dirigidos por las figuras más relevantes y capaces de determinar el carácter de la vivienda europea, Manual de Vivienda Colectiva explora los orígenes, conceptos y diseño de la vivienda colectiva desde el punto de vista profesional y académico. Se trata de una guía para abordar los cambios, presiones y preocupaciones que influyen en la realización de tales proyectos. Los trabajos que surgen de la colaboración estre profesores y estudiantes, práctica y estudio, iluminan nuevas vías de pensamiento y materialización, convirtiendo este compendio en una valiosa aportación al progreso continuado de la vivienda.

Dietmar Eberle (de Baumshlager&Eberle), Wiel Arets, Frits Van Dongen (de Architecten Cie), Felix Claus (de Claus&Kaan) y Jacob Van Riijs (de MVRDV), Juan Herreros (de Ábalos&Herreros) y Pepe Morales se han “encerrado” en un taller durante una semana y ayudados por un profesor asistente español, con un grupo de 35 arquitectos de distintas nacionalidades. Nos hablan, en las páginas de éste libro, de vivienda colectiva, pero más de cómo enseñar a hacerla. Cada capítulo se ilustra con un proyecto inédito o poco conocido de cada “maestro”, con otras imágenes aportadas por él y con resultados que los arquitectos-alumnos tuvieron en su taller. Cada taller ha contado con invitados ilustres; Anne Lacaton (de Lacaton&Vasal), Cris Cristiansen, Jan Neutelings, han participado, inspirado o corregido durante los mismos.

La editorial

Agrupaciones Manzanas 1-2-3

“A medida que nuestro cuerpo avanza, se abren y cierran las vistas, las perspectivas palpitan. El brusco movimiento de objetos, muros y edificios, distantes y proximos, revela un paisaje cambiante, visualmente tectónico” Steven Holl

Agrupaciones M4 _ 02: Propuesta...

Agrupaciones M4 _ 02: Estudios Composición Parcelario...

Agrupaciones M4 _ 02: Limites publico-privado...

Agrupaciones M4 _ 01: Limites publico-privado...

The Bamboo Prototype Built in Bangkok ...

The Bamboo Prototype Built in Bangkok

project by: Stefano Mirti, Rachaporn Choochuey, Luca Poncellini, Nantapon Junggurn / CLIOBANGKOK. with: Infosign and Rangsit Univeristy, Bangkok.

Temporary Exhibition Space...

Temporary Exhibition Space. Quarrata, Italy.

project by: Stefano Mirti, Rachaporn Choochuey, Luca Poncellini, Nantapon Junggurn / CLIOBANGKOK. with: Infosign and Rangsit Univeristy, Bangkok.

Metamorfosis...

...la fusión de los dos mundos.

Cubo Soma...

El cubo Soma es un rompecabezas geométrico, con siete piezas formadas con cubos que hay que unir en un cubo mayor.

Fue creado por Piet Hein, un poeta, soñador, matemático y genio Danés en 1936. Se dice que durante una conferencia de Heisenberg, Hein empezó a pensar en los distintos policubos que se podían obtener uniendo varios cubos del mismo tamaño, y comprobó que todos los policubos irregulares formados por cuatro o menos cubos sumaban un total de 27 cubos, y podían unirse en un cubo mayor con tres cubos de arista.

Posteriormente, el matemático John Conway comprobó que había 240 formas distintas de resolver el problema principal.

No fue un puzzle demasiado popular hasta 1969 cuando Parker Bros lo empaqueto como ''La respuesta 3D al Tangram'', pero tuvo la mala suerte de coincidir con otro cubo de 27 piezas que se hizo mucho más popular y absorvió durante bastante tiempo la atención de los puzzles de forma cúbica.

Este puzzle consta de 7 piezas, 6 de ellas estan formadas por 4 pequeños cubos y la última solo por 3 (6x4 + 3 = 27), El problema base es formar un cubo. Con las piezas del cubo Soma se pueden crear otras formas, con diseños geométricos más o menos interesantes o incluso diseños figurativos. Hay recopilaciones con miles de estas figuras.

Las siete figuras del Soma se pueden identificar con un número o con una letra:

-Triónimo plano en forma de L
-Tetrónimo plano en forma de L
-Tetrónimo plano en forma de Z
-Tetrónimo plano en forma de T
-Tetrónimo tridimensional de forma helicoidal dextrógira
-Tetrónimo tridimensional de forma helicoidal levógira
-Tetrónimo tridimensional de forma de trípode

Los policubos de 4 o menos cubos que no figuran en esta lista son todos regulares.

Habitat '67 (Montreal, Canada, 1967). Moshe Safdie

Habitat 67 fue un proyecto del arquitecto israelí Moshe Safdie para viviendas de bajo coste introduciendo la industrialización en el proceso constructivo. Son viviendas de media densidad. Los módulos utilizados eran construidos “in situ” y después movidos para su respectiva posición.

El plano original era tener una “ciudad” con tiendas y una escuela, perosolo se hicieron 158 viviendas de una hasta cuatro habitaciones. Cada unatenia su propio jardín (el jardín de uno era la cubierta de otro) y habíanquince topologías distintas, lo que daba una sensación de vivienda única.

Sin embargo, el proyecto se transformó en un edificio que nocorrespondía a la vivienda de bajo coste que se pretendía. Era un proyecto con sensibilidad social que pretendía incorporar un nuevo modelo de vivienda.

http://www.msafdie.com/#

http://cac.mcgill.ca/safdie/habitat/

La Cina e’ Vicina. Rachaporn Choochuey, Stefano Mirti, Luca Poncellini and Suriyadech Tripajayakorn

Europan 6 Competition, prize winner project ‘China is here, China is near’ (La Cina e’ Vicina), 2001

Hollow House. Riken Yamamoto

http://www.riken-yamamoto.co.jp/sitefolder/ryTop.html

Curva de Hilbert...

Aunque la primera de las curvas que llenan el plano se debe a Peano (1890), Hilbert construyó esta otra más fácilmente visualizable. En la figura se pueden ver los cinco primeros pasos de un proceso que en el límite da lugar a la curva de Hilbert. Su característica principal es que recorre todos y cada uno de los puntos del cuadrado que la contiene. Dicho de otra manera: su dimensión fractal es dos.

Fenómeno de mapeado del espacio estudiado con la curva de Hilbert

Space Block Modelo Hanoi (2003)... Kazuhiro Kojima

http://www.spacetimedesigns.org/soko/hanoi.html

Space Block Modelo Taipei (1997)... Kazuhiro Kojima